Identités Trigonométriques de Demi-Angle

Que sont les identités de demi-angle ?

Les identités de demi-angle sont des formules trigonométriques qui expriment le sinus, le cosinus et la tangente de la moitié d'un angle (θ/2) en termes de fonctions trigonométriques de l'angle original (θ). Ces identités sont essentielles dans diverses applications mathématiques et physiques, simplifiant les expressions trigonométriques complexes et résolvant des problèmes avancés.

Les formules de demi-angle

Les principales identités de demi-angle sont :

\[ \begin{align*} \sin \frac{\theta}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \\ \cos \frac{\theta}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}} \\ \tan \frac{\theta}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \end{align*} \]

Où :

• \(\theta\) est l'angle original
• \(\frac{\theta}{2}\) est la moitié de l'angle original
• \(\sin\), \(\cos\), et \(\tan\) sont respectivement les fonctions sinus, cosinus et tangente

Dérivation et explication

Ces identités peuvent être dérivées en utilisant les formules d'angle double et en résolvant pour le demi-angle. Le choix du signe (+ ou -) dépend du quadrant dans lequel se trouve l'angle θ/2.

Exemple de calcul

Calculons les identités de demi-angle pour θ = 60° :

\[ \begin{align*} \cos 60° &= \frac{1}{2} \\[10pt] \sin \frac{60°}{2} &= \sqrt{\frac{1 - \cos 60°}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{2}}{2}} = \frac{1}{2} \\[10pt] \cos \frac{60°}{2} &= \sqrt{\frac{1 + \cos 60°}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\[10pt] \tan \frac{60°}{2} &= \frac{\sin 60°}{1 + \cos 60°} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \end{align*} \]

Représentation visuelle

Ce diagramme illustre la relation entre θ (60°) et θ/2 (30°) sur le cercle unitaire, représentant visuellement le concept de demi-angle.