Comprendre la Fonction Tangente Hyperbolique

Qu'est-ce que la Fonction Tangente Hyperbolique ?

La fonction tangente hyperbolique, notée tanh(x), est l'une des fonctions hyperboliques fondamentales en mathématiques. Elle est analogue à la fonction tangente trigonométrique mais est définie en termes de fonctions exponentielles plutôt que d'angles. La fonction tangente hyperbolique a de nombreuses applications dans divers domaines, notamment les réseaux de neurones, le traitement du signal et les systèmes de contrôle.

Formule et Définition

La fonction tangente hyperbolique est définie comme :

\[\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\]

Où :

• \(x\) est un nombre réel quelconque
• \(e\) est le nombre d'Euler (approximativement 2,71828)
• \(\sinh(x)\) est la fonction sinus hyperbolique
• \(\cosh(x)\) est la fonction cosinus hyperbolique

Propriétés de tanh(x)

• Domaine : Tous les nombres réels
• Image : (-1, 1) (tous les nombres réels entre -1 et 1, exclus)
• tanh(x) est une fonction impaire : tanh(-x) = -tanh(x)
• tanh(0) = 0
• Lorsque x tend vers l'infini positif, tanh(x) tend vers 1
• Lorsque x tend vers l'infini négatif, tanh(x) tend vers -1
• Le graphe de tanh(x) est symétrique par rapport à l'origine

Étapes de Calcul

1. Entrez un nombre réel x.
2. Calculez \(e^x\) et \(e^{-x}\).
3. Calculez le numérateur : \(e^x - e^{-x}\).
4. Calculez le dénominateur : \(e^x + e^{-x}\).
5. Divisez le numérateur par le dénominateur.

Exemple de Calcul

Calculons tanh(1) :

1. Entrée : x = 1
2. Calcul : \(e^1 \approx 2,71828\) et \(e^{-1} \approx 0,36788\)
3. Numérateur : \(2,71828 - 0,36788 = 2,35040\)
4. Dénominateur : \(2,71828 + 0,36788 = 3,08616\)
5. Division : \(2,35040 / 3,08616 \approx 0,76159\)

Donc, tanh(1) ≈ 0,76159

Représentation Visuelle

Ce graphique illustre la fonction tangente hyperbolique. Le point (1, 0,76) correspond à tanh(1).