Formules Trigonométriques de Somme à Produit

Que sont les formules de somme à produit ?

Les formules de somme à produit en trigonométrie sont des identités qui nous permettent d'exprimer la somme ou la différence de deux fonctions trigonométriques comme un produit de fonctions trigonométriques. Ces formules sont essentielles pour simplifier des expressions trigonométriques complexes, résoudre des équations et effectuer des intégrations en calcul.

Les formules de somme à produit

Les principales formules de somme à produit sont :

\[ \begin{align*} \sin A + \sin B &= 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2}) \\ \sin A - \sin B &= 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \sin(\frac{A-B}{2}) \\ \cos A + \cos B &= 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2}) \\ \cos A - \cos B &= -2 \sin(\frac{A+B}{2}) \sin(\frac{A-B}{2}) \end{align*} \]

Où :

• \(A\) et \(B\) sont des angles
• \(\sin\) et \(\cos\) sont respectivement les fonctions sinus et cosinus

Dérivation et explication

Ces formules peuvent être dérivées en utilisant les formules d'addition d'angles et la manipulation algébrique. Elles nous permettent de convertir des sommes ou des différences de fonctions trigonométriques en produits, ce qui peut souvent simplifier les calculs et les expressions.

Exemple de calcul

Calculons sin(30°) + sin(60°) en utilisant la formule de somme à produit :

\[ \begin{align*} \sin(30°) + \sin(60°) &= 2 \sin(\frac{30° + 60°}{2}) \cos(\frac{30° - 60°}{2}) \\[10pt] &= 2 \sin(45°) \cos(-15°) \\[10pt] &= 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \\[10pt] &= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} \end{align*} \]

Représentation visuelle

Ce diagramme illustre les angles 30° et 60° sur le cercle unitaire, représentant visuellement le concept derrière la formule de somme à produit pour sin(30°) + sin(60°).