Comprendre la Fonction Sinus Hyperbolique

Qu'est-ce que la Fonction Sinus Hyperbolique ?

La fonction sinus hyperbolique, notée sinh(x), est l'une des fonctions hyperboliques en mathématiques. Elle est analogue à la fonction sinus trigonométrique mais est définie en termes de fonctions exponentielles plutôt que d'angles. La fonction sinus hyperbolique a des applications dans divers domaines, notamment la physique, l'ingénierie et le traitement du signal.

Formule et Définition

La fonction sinus hyperbolique est définie comme :

\[\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}\]

Où :

• \(x\) est un nombre réel quelconque
• \(e\) est le nombre d'Euler (approximativement 2,71828)

Propriétés de sinh(x)

• Domaine : Tous les nombres réels
• Image : Tous les nombres réels
• sinh(x) est une fonction impaire : sinh(-x) = -sinh(x)
• sinh(0) = 0
• Lorsque x tend vers l'infini, sinh(x) tend vers l'infini positif
• Lorsque x tend vers l'infini négatif, sinh(x) tend vers l'infini négatif

Étapes de Calcul

1. Entrez un nombre réel x.
2. Calculez \(e^x\) et \(e^{-x}\).
3. Soustrayez \(e^{-x}\) de \(e^x\).
4. Divisez le résultat par 2.

Exemple de Calcul

Calculons sinh(1) :

1. Entrée : x = 1
2. Calcul : \(e^1 \approx 2,71828\) et \(e^{-1} \approx 0,36788\)
3. Soustraction : \(2,71828 - 0,36788 = 2,35040\)
4. Division par 2 : \(2,35040 / 2 = 1,17520\)

Donc, sinh(1) ≈ 1,17520

Représentation Visuelle

Ce graphique illustre la fonction sinus hyperbolique. Le point (1, 1,18) correspond à sinh(1).