Formules Trigonométriques Produit-Somme

Que sont les formules produit-somme ?

Les formules produit-somme en trigonométrie sont des identités qui nous permettent d'exprimer le produit de deux fonctions trigonométriques comme une somme ou une différence de fonctions trigonométriques. Ces formules sont essentielles pour simplifier des expressions trigonométriques complexes, résoudre des équations et effectuer des intégrations en calcul.

Les formules produit-somme

Les principales formules produit-somme sont :

\[ \begin{align*} \sin A \sin B &= \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)] \\ \cos A \cos B &= \frac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos(A+B)] \\ \sin A \cos B &= \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)] \\ \cos A \sin B &= \frac{1}{2}[\sin(A+B) - \sin(A-B)] \end{align*} \]

Où :

• \(A\) et \(B\) sont des angles
• \(\sin\) et \(\cos\) sont respectivement les fonctions sinus et cosinus

Dérivation et explication

Ces formules peuvent être dérivées en utilisant les formules d'addition d'angles et la manipulation algébrique. Elles nous permettent de convertir des produits de fonctions trigonométriques en sommes ou différences, ce qui peut souvent simplifier les calculs et les expressions.

Exemple de calcul

Calculons sin(30°)sin(60°) en utilisant la formule produit-somme :

\[ \begin{align*} \sin(30°)\sin(60°) &= \frac{1}{2}[\cos(30° - 60°) - \cos(30° + 60°)] \\[10pt] &= \frac{1}{2}[\cos(-30°) - \cos(90°)] \\[10pt] &= \frac{1}{2}[\frac{\sqrt{3}}{2} - 0] \\[10pt] &= \frac{\sqrt{3}}{4} \end{align*} \]

Représentation visuelle

Ce diagramme illustre les angles 30° et 60° sur le cercle unitaire, représentant visuellement le concept derrière la formule produit-somme pour sin(30°)sin(60°).