Formules de Réduction de Puissance Trigonométrique

Que sont les Formules de Réduction de Puissance Trigonométrique ?

Les formules de réduction de puissance trigonométrique sont des identités mathématiques qui nous permettent d'exprimer le carré des fonctions trigonométriques (sin²θ, cos²θ, tan²θ) en termes de formules d'angle double. Ces identités sont cruciales pour simplifier des expressions trigonométriques complexes et résoudre des problèmes avancés en mathématiques, physique et ingénierie.

Les Formules de Réduction de Puissance

Les principales formules de réduction de puissance sont :

\[ \begin{align*} \sin^2 \theta &= \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \\ \cos^2 \theta &= \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \\ \tan^2 \theta &= \frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta} \end{align*} \]

Où :

• \(\theta\) est l'angle
• \(2\theta\) est le double de l'angle
• \(\sin\), \(\cos\), et \(\tan\) sont respectivement les fonctions sinus, cosinus et tangente

Dérivation et Explication

Ces formules sont dérivées des formules d'angle double et de l'identité pythagoricienne. Elles nous permettent d'exprimer les fonctions trigonométriques au carré en termes de cosinus du double de l'angle, ce qui peut souvent simplifier les calculs et les expressions.

Exemple de Calcul

Calculons sin²(30°) en utilisant la formule de réduction de puissance :

\[ \begin{align*} \sin^2 30° &= \frac{1 - \cos 60°}{2} \\[10pt] &= \frac{1 - \frac{1}{2}}{2} \\[10pt] &= \frac{1}{4} \end{align*} \]

Représentation Visuelle

Ce diagramme illustre la relation entre θ (30°) et 2θ (60°) sur le cercle unitaire, représentant visuellement le concept derrière la formule de réduction de puissance.