Comprendre les fonctions trigonométriques inverses

Que sont les fonctions trigonométriques inverses ?

Les fonctions trigonométriques inverses, également connues sous le nom de fonctions arcus ou fonctions anti-trigonométriques, sont les fonctions inverses des fonctions trigonométriques de base. Elles sont utilisées pour trouver l'angle lorsqu'on connaît un rapport trigonométrique. Les trois principales fonctions trigonométriques inverses sont :

• Arcsinus (arcsin ou sin⁻¹)
• Arccosinus (arccos ou cos⁻¹)
• Arctangente (arctan ou tan⁻¹)

Formules et définitions

Pour un triangle rectangle avec un angle θ :

• \(\arcsin(x) = \theta\) où \(\sin(\theta) = x\) et \(-1 \leq x \leq 1\)
• \(\arccos(x) = \theta\) où \(\cos(\theta) = x\) et \(-1 \leq x \leq 1\)
• \(\arctan(x) = \theta\) où \(\tan(\theta) = x\) pour tout x réel

Étapes de calcul

1. Identifier la fonction trigonométrique inverse à utiliser (arcsin, arccos ou arctan).
2. Entrer la valeur (entre -1 et 1 pour arcsin et arccos, tout nombre réel pour arctan).
3. Appliquer la fonction trigonométrique inverse.
4. Si nécessaire, convertir le résultat de radians en degrés en utilisant la formule : angle en degrés = angle en radians × 180°/π.
5. Arrondir le résultat au nombre de décimales souhaité.

Exemple de calcul

Calculons arcsin(0,5) :

1. Nous utilisons la fonction arcsinus : arcsin(0,5)
2. En utilisant une calculatrice ou un ordinateur : arcsin(0,5) ≈ 0,5236 radians
3. Conversion en degrés : 0,5236 × 180°/π ≈ 30°

Représentation visuelle

Ce diagramme illustre arcsin(0,5) sur le cercle unitaire. La ligne rouge représente l'angle (30°), et l'arc jaune montre la mesure de l'angle. Les lignes vertes en pointillés forment un triangle rectangle où le sinus de l'angle (opposé / hypoténuse) est 0,5.