Identités trigonométriques à angle double

Que sont les identités à angle double ?

Les identités à angle double sont des formules trigonométriques qui expriment le sinus, le cosinus et la tangente du double d'un angle (2θ) en termes de fonctions trigonométriques de l'angle original (θ). Ces identités sont cruciales dans diverses applications mathématiques et physiques, simplifiant les expressions trigonométriques complexes et résolvant des problèmes avancés.

Les formules d'angle double

Les principales identités à angle double sont :

\[ \begin{align*} \sin 2\theta &= 2\sin \theta \cos \theta \\ \cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta \\ \tan 2\theta &= \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} \end{align*} \]

Où :

• \(\theta\) est l'angle original
• \(2\theta\) est le double de l'angle original
• \(\sin\), \(\cos\), et \(\tan\) sont respectivement les fonctions sinus, cosinus et tangente

Dérivation et explication

Ces identités peuvent être dérivées en utilisant les formules de somme pour le sinus et le cosinus, en considérant que 2θ = θ + θ. L'identité de la tangente est dérivée du quotient des formules d'angle double du sinus et du cosinus.

Exemple de calcul

Calculons les identités à angle double pour θ = 30° :

\[ \begin{align*} \sin 30° &= \frac{1}{2}, \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} \\[10pt] \sin 60° &= 2\sin 30° \cos 30° = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\[10pt] \cos 60° &= \cos^2 30° - \sin^2 30° = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \\[10pt] \tan 60° &= \frac{2\tan 30°}{1 - \tan^2 30°} = \frac{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{3} \end{align*} \]

Représentation visuelle

Ce diagramme illustre la relation entre θ (30°) et 2θ (60°) sur le cercle unitaire, représentant visuellement le concept d'angle double.