Comprendre la Fonction Cosinus Hyperbolique

Qu'est-ce que la Fonction Cosinus Hyperbolique ?

La fonction cosinus hyperbolique, notée cosh(x), est l'une des fonctions hyperboliques fondamentales en mathématiques. Elle est analogue à la fonction cosinus trigonométrique mais est définie en termes de fonctions exponentielles plutôt que d'angles. La fonction cosinus hyperbolique a de nombreuses applications dans divers domaines, notamment la physique, l'ingénierie et le traitement du signal.

Formule et Définition

La fonction cosinus hyperbolique est définie comme :

\[\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\]

Où :

• \(x\) est un nombre réel quelconque
• \(e\) est le nombre d'Euler (approximativement 2,71828)

Propriétés de cosh(x)

• Domaine : Tous les nombres réels
• Image : [1, ∞) (tous les nombres réels supérieurs ou égaux à 1)
• cosh(x) est une fonction paire : cosh(-x) = cosh(x)
• cosh(0) = 1
• Lorsque x tend vers l'infini positif ou négatif, cosh(x) tend vers l'infini positif
• Le graphe de cosh(x) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées

Étapes de Calcul

1. Entrez un nombre réel x.
2. Calculez \(e^x\) et \(e^{-x}\).
3. Additionnez \(e^x\) et \(e^{-x}\).
4. Divisez le résultat par 2.

Exemple de Calcul

Calculons cosh(1) :

1. Entrée : x = 1
2. Calcul : \(e^1 \approx 2,71828\) et \(e^{-1} \approx 0,36788\)
3. Addition : \(2,71828 + 0,36788 = 3,08616\)
4. Division par 2 : \(3,08616 / 2 = 1,54308\)

Donc, cosh(1) ≈ 1,54308

Représentation Visuelle

Ce graphique illustre la fonction cosinus hyperbolique. Le point (1, 1,54) correspond à cosh(1).