Comprendre la Fonction Tangente Hyperbolique Inverse

Qu'est-ce que la Fonction Tangente Hyperbolique Inverse ?

La fonction tangente hyperbolique inverse, notée atanh(x) ou tanh⁻¹(x), est la fonction inverse de la tangente hyperbolique. Elle renvoie l'angle hyperbolique dont la tangente hyperbolique est la valeur d'entrée. Cette fonction est importante dans divers domaines des mathématiques, de la physique et de l'ingénierie, en particulier dans les problèmes impliquant une croissance ou une décroissance exponentielle et dans la théorie de la relativité restreinte.

Formule et Définition

La fonction tangente hyperbolique inverse est définie comme :

\[atanh(x) = \frac{1}{2}\ln(\frac{1+x}{1-x})\]

Où :

• \(x\) est un nombre réel entre -1 et 1 (exclusivement)
• \(\ln\) est la fonction logarithme naturel

Propriétés de atanh(x)

• Domaine : -1 < x < 1
• Image : Tous les nombres réels
• atanh(0) = 0
• Le graphe de atanh(x) est symétrique par rapport à l'origine
• atanh(x) est une fonction strictement croissante pour -1 < x < 1
• Lorsque x s'approche de 1 ou -1, atanh(x) tend vers l'infini positif ou négatif, respectivement

Étapes de Calcul

1. Entrez un nombre réel x où -1 < x < 1.
2. Calculez 1 + x et 1 - x.
3. Divisez (1 + x) par (1 - x).
4. Calculez le logarithme naturel du résultat de l'étape 3.
5. Multipliez le résultat de l'étape 4 par 1/2.

Exemple de Calcul

Calculons atanh(0.5) :

1. Entrée : x = 0.5
2. Calcul : 1 + 0.5 = 1.5 et 1 - 0.5 = 0.5
3. Division : 1.5 / 0.5 = 3
4. Calcul : ln(3) ≈ 1.098612
5. Multiplication : 1/2 * 1.098612 ≈ 0.549306

Donc, atanh(0.5) ≈ 0.549306

Représentation Visuelle

Ce graphique illustre la fonction tangente hyperbolique inverse. Le point (0.5, 0.55) correspond à atanh(0.5).