Comprendre la Fonction Cosinus Hyperbolique Inverse

Qu'est-ce que la Fonction Cosinus Hyperbolique Inverse ?

La fonction cosinus hyperbolique inverse, notée acosh(x) ou cosh⁻¹(x), est la fonction inverse du cosinus hyperbolique. Elle renvoie l'angle hyperbolique dont le cosinus hyperbolique est la valeur d'entrée. Cette fonction est importante dans divers domaines des mathématiques, de la physique et de l'ingénierie, en particulier dans les problèmes impliquant une croissance ou une décroissance exponentielle.

Formule et Définition

La fonction cosinus hyperbolique inverse est définie comme :

\[acosh(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})\]

Où :

• \(x\) est tout nombre réel supérieur ou égal à 1
• \(\ln\) est la fonction logarithme naturel

Propriétés de acosh(x)

• Domaine : x ≥ 1
• Image : [0, ∞)
• acosh(1) = 0
• Le graphe de acosh(x) est symétrique par rapport à l'axe des y
• acosh(x) est une fonction strictement croissante pour x ≥ 1

Étapes de Calcul

1. Entrez un nombre réel x ≥ 1.
2. Calculez \(x^2 - 1\).
3. Calculez la racine carrée du résultat de l'étape 2.
4. Ajoutez x au résultat de l'étape 3.
5. Calculez le logarithme naturel du résultat de l'étape 4.

Exemple de Calcul

Calculons acosh(2) :

1. Entrée : x = 2
2. Calculez : \(2^2 - 1 = 3\)
3. Calculez : \(\sqrt{3} \approx 1,732051\)
4. Ajoutez : \(2 + 1,732051 \approx 3,732051\)
5. Calculez : \(\ln(3,732051) \approx 1,316958\)

Donc, acosh(2) ≈ 1,316958

Représentation Visuelle

Ce graphique illustre la fonction cosinus hyperbolique inverse. Le point (2, 1,32) correspond à acosh(2).