Calculateur de Distribution de Weibull

Qu'est-ce que la Distribution de Weibull ?

La distribution de Weibull est une distribution de probabilité continue nommée d'après le mathématicien suédois Waloddi Weibull. Elle est largement utilisée en ingénierie de fiabilité et en analyse des défaillances en raison de sa flexibilité dans la modélisation de divers types de données.

Formules et leurs significations

1. Fonction de densité de probabilité (PDF) : \[f(x) = \frac{\beta}{\alpha} (\frac{x}{\alpha})^{\beta-1} e^{-(\frac{x}{\alpha})^\beta}\] Où \(\alpha\) est le paramètre d'échelle et \(\beta\) est le paramètre de forme.

2. Fonction de répartition cumulative (CDF) : \[F(x) = 1 - e^{-(\frac{x}{\alpha})^\beta}\] Cela donne la probabilité qu'une valeur soit inférieure ou égale à x.

3. Moyenne : \[E(X) = \alpha \Gamma(1 + \frac{1}{\beta})\] Où \(\Gamma\) est la fonction gamma.

4. Variance : \[Var(X) = \alpha^2 [\Gamma(1 + \frac{2}{\beta}) - (\Gamma(1 + \frac{1}{\beta}))^2]\]

5. Mode (pour \(\beta > 1\)) : \[Mode = \alpha (\frac{\beta - 1}{\beta})^{\frac{1}{\beta}}\]

6. Médiane : \[Médiane = \alpha (\ln 2)^{\frac{1}{\beta}}\]

Étapes de calcul

1. Entrez le paramètre d'échelle (\(\alpha\)) et le paramètre de forme (\(\beta\)).
2. Spécifiez l'intervalle [X1, X2] pour le calcul de la probabilité.
3. Calculez la CDF à X1 et X2.
4. Soustrayez CDF(X1) de CDF(X2) pour obtenir P(X1 < X < X2).
5. Utilisez les formules ci-dessus pour calculer la moyenne, le mode, la médiane, la variance et l'écart-type.

Exemple de calcul

Calculons pour \(\alpha = 2\), \(\beta = 3\), X1 = 1, et X2 = 3

1. P(1 < X < 3) = F(3) - F(1) \[= (1 - e^{-(\frac{3}{2})^3}) - (1 - e^{-(\frac{1}{2})^3}) \approx 0,7769\]
2. Moyenne : \[E(X) = 2 \cdot \Gamma(1 + \frac{1}{3}) \approx 1,7724\]
3. Mode : \[2 \cdot (\frac{3 - 1}{3})^{\frac{1}{3}} \approx 1,6984\]
4. Médiane : \[2 \cdot (\ln 2)^{\frac{1}{3}} \approx 1,7673\]
5. Variance : \[4 \cdot [\Gamma(1 + \frac{2}{3}) - (\Gamma(1 + \frac{1}{3}))^2] \approx 0,3679\]
6. Écart-type : \[\sqrt{0,3679} \approx 0,6066\]

Représentation visuelle

Ce graphique représente une distribution de Weibull typique. La forme peut varier considérablement en fonction des paramètres α et β.