Calculateur de Distribution Gaussienne (Normale)

Qu'est-ce qu'une Distribution Gaussienne (Normale) ?

La distribution gaussienne ou normale est une distribution de probabilité continue qui est symétrique autour de la moyenne, montrant que les données proches de la moyenne sont plus fréquentes que les données éloignées de la moyenne. Le graphique de la distribution normale dépend de deux facteurs : la moyenne et l'écart-type.

Formules et Leurs Significations

1. Fonction de Densité de Probabilité (PDF) : \[f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}\] Où \(\mu\) est la moyenne et \(\sigma\) est l'écart-type.

2. Fonction de Répartition (CDF) : \[F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt = \frac{1}{2}[1 + erf(\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}})]\] Cela donne la probabilité qu'une valeur soit inférieure à x.

3. Score Z : \[Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\] Cela standardise une distribution normale pour avoir une moyenne de 0 et un écart-type de 1.

Étapes de Calcul

1. Calculer le score Z pour la valeur x donnée.
2. Utiliser une table normale standard ou une méthode de calcul pour trouver l'aire sous la courbe jusqu'au score Z.
3. Cette aire représente la probabilité P(X < x).
4. Pour P(X > x), soustraire P(X < x) de 1.
5. Pour P(x1 < X < x2), calculer P(X < x2) - P(X < x1).

Exemple de Calcul

Calculons les probabilités pour une distribution normale avec μ = 10 et σ = 2 :

1. Pour x = 12 : \[Z = \frac{12 - 10}{2} = 1\] \[P(X < 12) \approx 0,8413\]
2. Pour x = 8 : \[Z = \frac{8 - 10}{2} = -1\] \[P(X < 8) \approx 0,1587\]
3. P(8 < X < 12) = P(X < 12) - P(X < 8) ≈ 0,8413 - 0,1587 = 0,6826

Représentation Visuelle

Ce graphique illustre une distribution normale standard. La ligne pointillée rouge indique la moyenne (μ), et les lignes pointillées vertes montrent un écart-type (σ) de chaque côté de la moyenne.