Calculateur de Moyenne et d'Écart-type

Que sont la Moyenne et l'Écart-type ?

La moyenne est une mesure de tendance centrale, représentant la valeur moyenne d'un ensemble de données. L'écart-type est une mesure de variabilité ou de dispersion, indiquant à quel point les points de données s'écartent généralement de la moyenne.

Formules et leurs significations

1. Moyenne (\(\bar{x}\)): \[\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}\] Où \(x_i\) sont les valeurs individuelles et \(n\) est le nombre de valeurs.

2. Variance (\(s^2\)): \[s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}\] Cela mesure l'écart quadratique moyen par rapport à la moyenne.

3. Écart-type (\(s\)): \[s = \sqrt{s^2}\] La racine carrée de la variance, donnant une mesure de dispersion dans les mêmes unités que les données originales.

4. Variance de la population (\(\sigma^2\)): \[\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}\] Similaire à la variance de l'échantillon, mais divisée par (n-1) au lieu de n.

5. Écart-type de la population (\(\sigma\)): \[\sigma = \sqrt{\sigma^2}\] La racine carrée de la variance de la population.

Étapes de calcul

1. Calculer la moyenne en additionnant toutes les valeurs et en divisant par le nombre total.
2. Soustraire la moyenne de chaque valeur et élever le résultat au carré.
3. Additionner ces différences au carré.
4. Diviser par n (ou n-1 pour la population) pour obtenir la variance.
5. Prendre la racine carrée de la variance pour obtenir l'écart-type.

Exemple de calcul

Calculons pour l'ensemble de données : 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9

1. Moyenne : \(\bar{x} = \frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = 5\)
2. Différences au carré : \((2-5)^2, (4-5)^2, ..., (9-5)^2\)
3. Somme des différences au carré : \(9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32\)
4. Variance : \(s^2 = \frac{32}{8} = 4\)
5. Écart-type : \(s = \sqrt{4} = 2\)

Représentation visuelle

Ce nuage de points représente l'ensemble de données de l'exemple. La ligne rouge en pointillés indique la moyenne (5), et la dispersion des points illustre l'écart-type.