Calculateur de Kurtosis

Qu'est-ce que le Kurtosis ?

Le kurtosis est une mesure statistique qui décrit la forme d'une distribution de probabilité. Plus précisément, il quantifie l'aplatissement de la distribution des données. Le kurtosis indique si les queues d'une distribution donnée contiennent des valeurs extrêmes.

Formule et sa signification

La formule du kurtosis est :

\[ Kurt = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^4}{s^4} - 3 \]

Où :

• \(x_i\) sont les valeurs individuelles dans un ensemble de données
• \(\bar{x}\) est la moyenne de l'ensemble de données
• \(n\) est le nombre de points de données
• \(s\) est l'écart-type de l'ensemble de données

Le "-3" dans la formule est utilisé pour rendre le kurtosis d'une distribution normale égal à zéro.

Interprétation des valeurs de Kurtosis

• Kurtosis = 0 : Indique une distribution normale (mésokurtique)
• Kurtosis > 0 : Indique une distribution à queues lourdes (leptokurtique)
• Kurtosis < 0 : Indique une distribution à queues légères (platykurtique)

Étapes de calcul

1. Calculer la moyenne de l'ensemble de données.
2. Calculer l'écart-type de l'ensemble de données.
3. Pour chaque point de données, soustraire la moyenne et élever le résultat à la puissance quatre.
4. Calculer la moyenne de ces valeurs.
5. Diviser par la puissance quatre de l'écart-type.
6. Soustraire 3 du résultat.

Exemple de calcul

Calculons le kurtosis pour l'ensemble de données : 1, 2, 3, 4, 5

1. Moyenne : \(\bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = 3\)
2. Variance : \(s^2 = \frac{(1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2}{5} = 2\)
3. Écart-type : \(s = \sqrt{2} = 1,414\)
4. Quatrième moment : \(m_4 = \frac{(1-3)^4 + (2-3)^4 + (3-3)^4 + (4-3)^4 + (5-3)^4}{5} = 4,8\)
5. Kurtosis : \(Kurt = \frac{4,8}{2^2} - 3 = -1,8\)

Représentation visuelle

Ce graphique illustre différentes formes de kurtosis. La courbe bleue représente une distribution leptokurtique (kurtosis élevé), la courbe verte une distribution mésokurtique (kurtosis normal), et la courbe rouge une distribution platykurtique (kurtosis faible).