Calculateur de Distribution Hypergéométrique

Qu'est-ce que la Distribution Hypergéométrique ?

La distribution hypergéométrique est une distribution de probabilité discrète qui décrit la probabilité de \(k\) succès dans \(n\) tirages, sans remplacement, à partir d'une population finie de taille \(N\) qui contient exactement \(K\) succès.

Formule et sa Signification

La fonction de masse de probabilité de la distribution hypergéométrique est donnée par :

\[P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}\]

Où :

• \(N\) est la taille de la population
• \(K\) est le nombre d'états de succès dans la population
• \(n\) est le nombre de tirages (taille de l'échantillon)
• \(k\) est le nombre de succès observés
• \(\binom{a}{b}\) représente le coefficient binomial ("a choisit b")

Étapes de Calcul

1. Calculer \(\binom{K}{k}\) : Cela représente le nombre de façons de choisir \(k\) succès parmi \(K\) succès totaux.
2. Calculer \(\binom{N-K}{n-k}\) : Cela représente le nombre de façons de choisir les non-succès restants.
3. Calculer \(\binom{N}{n}\) : Cela représente le nombre total de façons de choisir \(n\) éléments parmi \(N\).
4. Diviser le produit des étapes 1 et 2 par le résultat de l'étape 3.

Exemple de Calcul

Calculons la probabilité de tirer 3 billes rouges sur 5 tirages d'un sac contenant 20 billes, dont 8 sont rouges.

Ici, \(N = 20\), \(K = 8\), \(n = 5\), et \(k = 3\)

\[P(X = 3) = \frac{\binom{8}{3} \binom{12}{2}}{\binom{20}{5}} = \frac{56 \cdot 66}{15504} \approx 0.2378\]

Représentation Visuelle

Ce diagramme représente notre exemple. Le grand cercle représente la population totale de 20 billes, la section bleue montrant les 8 billes rouges. Le petit cercle représente notre échantillon de 5 tirages, la section verte montrant les 3 tirages réussis de billes rouges.