Calculateur de Fonction Gamma

Qu'est-ce que la Fonction Gamma ?

La fonction gamma, notée Γ(z), est une extension de la fonction factorielle aux arguments complexes et réels. C'est une fonction fondamentale en mathématiques avec de nombreuses applications en probabilité, statistiques et physique.

Formule et sa signification

La fonction gamma est définie pour tous les nombres complexes sauf les entiers non positifs. Pour les nombres complexes avec une partie réelle positive, elle est définie via une intégrale impropre convergente :

\[\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt\]

Où :

• z est un nombre complexe avec une partie réelle positive
• e est le nombre d'Euler (environ 2,71828)
• t est la variable d'intégration

Pour les entiers positifs, la fonction gamma est liée aux factorielles :

\[\Gamma(n) = (n-1)!\]

Étapes de calcul

1. Pour les nombres réels positifs, nous utilisons des techniques d'intégration numérique pour approximer l'intégrale.
2. Pour les nombres complexes ou pour une meilleure efficacité, nous utilisons souvent l'approximation de Lanczos.
3. Les cas particuliers (comme les entiers et les demi-entiers) peuvent être calculés à l'aide de formules spécifiques.

Exemple de calcul

Calculons Γ(3,5) :

1. Nous pouvons utiliser la propriété Γ(z+1) = z · Γ(z)
2. Γ(3,5) = 2,5 · Γ(2,5)
3. Γ(2,5) = √π · 1,5 / 2^1,5 ≈ 1,329340388
4. Donc, Γ(3,5) ≈ 2,5 · 1,329340388 ≈ 3,323350970

Représentation visuelle

Ce graphique représente la fonction gamma pour les nombres réels positifs. La fonction a un minimum à x ≈ 1,46163, et elle croît rapidement pour les petites valeurs positives et les grandes valeurs de x.