Calculateur de Distribution Exponentielle

Qu'est-ce que la Distribution Exponentielle ?

La distribution exponentielle est une distribution de probabilité continue qui décrit le temps entre les événements dans un processus de Poisson, c'est-à-dire un processus dans lequel les événements se produisent continuellement et indépendamment à un taux moyen constant. Elle est souvent utilisée pour modéliser le temps jusqu'à ce qu'un événement se produise, comme le temps jusqu'à ce qu'une machine tombe en panne ou le temps entre les arrivées dans un centre de service.

Formules et leurs significations

1. Fonction de Densité de Probabilité (PDF) : \[f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0\] Où \(\lambda\) est le paramètre de taux, et \(x\) est la variable aléatoire.

2. Fonction de Répartition (CDF) : \[F(x) = 1 - e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0\] Cela donne la probabilité qu'un événement se produise dans le temps \(x\).

3. Moyenne : \[E[X] = \frac{1}{\lambda}\] La valeur attendue ou moyenne de la distribution.

4. Médiane : \[M = \frac{\ln(2)}{\lambda}\] La valeur qui sépare la moitié supérieure de la moitié inférieure de la distribution.

5. Variance : \[Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}\] Une mesure de la dispersion de la distribution.

6. Écart-type : \[SD = \frac{1}{\lambda}\] La racine carrée de la variance, donnant une mesure de dispersion dans les mêmes unités que les données originales.

Étapes de calcul

1. Identifier le paramètre de taux \(\lambda\) et l'intervalle \([x_1, x_2]\).
2. Calculer la probabilité en utilisant la CDF : \(P(x_1 < X < x_2) = F(x_2) - F(x_1)\).
3. Calculer la moyenne, la médiane, la variance et l'écart-type en utilisant les formules ci-dessus.

Exemple de calcul

Calculons pour une distribution exponentielle avec \(\lambda = 0,5\) et l'intervalle \([1, 3]\).

1. Probabilité : \(P(1 < X < 3) = (1 - e^{-0,5 \cdot 3}) - (1 - e^{-0,5 \cdot 1}) = 0,2325\)
2. Moyenne : \(E[X] = \frac{1}{0,5} = 2\)
3. Médiane : \(M = \frac{\ln(2)}{0,5} = 1,3863\)
4. Variance : \(Var(X) = \frac{1}{0,5^2} = 4\)
5. Écart-type : \(SD = \frac{1}{0,5} = 2\)

Représentation visuelle

Ce graphique représente la fonction de densité de probabilité d'une distribution exponentielle. La zone ombrée illustre la probabilité \(P(x_1 < X < x_2)\).