Calculateur de Fonction Bêta

Qu'est-ce que la Fonction Bêta ?

La fonction Bêta, notée B(x,y), est une fonction spéciale étroitement liée à la fonction Gamma et aux factorielles. Elle est définie pour les nombres réels positifs x et y comme :

\[B(x,y) = \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1} dt\]

La fonction Bêta a de nombreuses applications en théorie des probabilités, en statistiques et dans divers domaines des mathématiques.

Formule et sa Signification

La fonction Bêta peut également être exprimée en termes de fonction Gamma :

\[B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\]

Où :

• \(x\) et \(y\) sont des nombres réels positifs
• \(\Gamma\) est la fonction Gamma

Cette relation entre les fonctions Bêta et Gamma est particulièrement utile à des fins de calcul.

Étapes de Calcul

1. Calculer \(\Gamma(x)\) et \(\Gamma(y)\) séparément.
2. Calculer \(\Gamma(x+y)\).
3. Diviser le produit de \(\Gamma(x)\) et \(\Gamma(y)\) par \(\Gamma(x+y)\).

Exemple de Calcul

Calculons B(2,3) :

1. \(\Gamma(2) = 1\)
2. \(\Gamma(3) = 2\)
3. \(\Gamma(2+3) = \Gamma(5) = 24\)
4. \[B(2,3) = \frac{\Gamma(2)\Gamma(3)}{\Gamma(2+3)} = \frac{1 \cdot 2}{24} = \frac{1}{12} \approx 0,0833\]

Représentation Visuelle

Ce graphique représente la fonction Bêta B(x,y). La courbe montre comment la valeur de la fonction change lorsque x et y varient. L'aire sous cette courbe entre 0 et 1 donne la valeur de la fonction Bêta.