Calculateur de Calotte Sphérique : Volume, Surface et Plus

Qu'est-ce qu'une Calotte Sphérique ?

Une calotte sphérique est une portion d'une sphère coupée par un plan. C'est comme couper le haut d'une balle, laissant un objet en forme de dôme. Les calottes sphériques sont courantes en géométrie et ont des applications pratiques en architecture, en ingénierie, et même dans la nature, comme les gouttelettes d'eau sur une surface.

Comment Calculer les Propriétés d'une Calotte Sphérique

Pour bien comprendre une calotte sphérique, nous devons calculer plusieurs propriétés clés : sa hauteur, le rayon de base, la surface, le volume et la longueur d'arc. Chacune de ces propriétés fournit des informations uniques sur la taille et la forme de la calotte.

Formules

Voici les formules essentielles pour une calotte sphérique :

1. Hauteur (h) :

\[ h = R \pm \sqrt{R^2 - r^2} \]

2. Rayon de Base (r) :

\[ r = \sqrt{2Rh - h^2} \]

3. Surface (A) :

Surface Totale : \[ A_{totale} = \pi(r^2 + h^2) \]

Surface Courbe : \[ A_{courbe} = 2\pi Rh \]

4. Volume (V) :

\[ V = \frac{1}{3}\pi h^2(3R - h) \]

5. Longueur d'Arc (L) :

\[ L = 2\pi R \arcsin(\frac{r}{R}) \]

Où :

• \(R\) est le rayon de la sphère
• \(r\) est le rayon de la base de la calotte
• \(h\) est la hauteur de la calotte
• \(\pi\) (pi) est approximativement 3,14159

Étapes de Calcul

1. Déterminer deux des trois paramètres principaux : R, r, ou h
2. Calculer le troisième paramètre en utilisant la formule appropriée
3. Calculer la surface totale avec \(A_{totale} = \pi(r^2 + h^2)\)
4. Calculer la surface courbe avec \(A_{courbe} = 2\pi Rh\)
5. Calculer le volume avec \(V = \frac{1}{3}\pi h^2(3R - h)\)
6. Calculer la longueur d'arc avec \(L = 2\pi R \arcsin(\frac{r}{R})\)

Exemple et Représentation Visuelle

Calculons les propriétés d'une calotte sphérique avec un rayon de sphère (R) de 10 unités et un rayon de base (r) de 6 unités :

1. Hauteur : \(h = 10 - \sqrt{10^2 - 6^2} = 1,87\) unités
2. Surface Totale : \(A_{totale} = \pi(6^2 + 1,87^2) = 119,37\) unités carrées
3. Surface Courbe : \(A_{courbe} = 2\pi (10)(1,87) = 117,50\) unités carrées
4. Volume : \(V = \frac{1}{3}\pi (1,87)^2(3(10) - 1,87) = 35,19\) unités cubes
5. Longueur d'Arc : \(L = 2\pi (10) \arcsin(\frac{6}{10}) = 38,20\) unités

Voici une représentation visuelle de cette calotte sphérique :

Dans ce diagramme, vous pouvez voir notre calotte sphérique avec un rayon de sphère R = 10 unités et un rayon de base r = 6 unités. La hauteur h, approximativement 1,87 unités, est la distance de la base au sommet de la calotte. Le volume de 35,19 unités cubes représente l'espace enfermé par la calotte.