Calculateur de Triangle 45-45-90

Qu'est-ce qu'un Triangle 45-45-90 ?

Un triangle 45-45-90, également connu sous le nom de triangle rectangle isocèle, est un triangle rectangle spécial avec deux angles de 45° et un angle de 90°. Ce triangle possède des propriétés uniques qui le rendent précieux en géométrie, en trigonométrie et dans les applications du monde réel.

Propriétés Principales des Triangles 45-45-90

• Deux côtés égaux (jambes) opposés aux angles de 45°
• L'hypoténuse est opposée à l'angle de 90°
• Le rapport entre la jambe et l'hypoténuse est toujours 1 : √2
• Le triangle est isocèle (deux côtés égaux) et rectangle

Formules pour les Triangles 45-45-90

Soit \(a\) la longueur d'une jambe. Alors :

1. Jambe : \(a = b\)
2. Hypoténuse : \(c = a\sqrt{2}\)
3. Hauteur (de l'angle droit à l'hypoténuse) : \(h = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)
4. Aire : \(A = \frac{a^2}{2}\)
5. Périmètre : \(P = a(2 + \sqrt{2})\)
6. Rayon du cercle inscrit : \(r = a(\sqrt{2} - 1)\)
7. Rayon du cercle circonscrit : \(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)

Calculs Étape par Étape

Calculons ces propriétés pour un triangle 45-45-90 avec une jambe \(a = 5\) unités :

1. Jambe : \[a = b = 5 \text{ unités}\]
2. Hypoténuse : \[c = a\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \approx 7,07 \text{ unités}\]
3. Hauteur : \[h = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \approx 3,54 \text{ unités}\]
4. Aire : \[A = \frac{a^2}{2} = \frac{5^2}{2} = 12,5 \text{ unités carrées}\]
5. Périmètre : \[P = a(2 + \sqrt{2}) = 5(2 + \sqrt{2}) \approx 17,07 \text{ unités}\]
6. Rayon du cercle inscrit : \[r = a(\sqrt{2} - 1) = 5(\sqrt{2} - 1) \approx 2,07 \text{ unités}\]
7. Rayon du cercle circonscrit : \[R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \approx 3,54 \text{ unités}\]

Représentation Visuelle

Ce diagramme illustre un triangle 45-45-90 avec les dimensions et angles calculés.

Applications

Les triangles 45-45-90 sont couramment utilisés dans divers domaines :

• Architecture : Pour la conception de structures symétriques et de pentes de toit
• Ingénierie : Dans la conception de machines et l'analyse structurelle
• Infographie : Pour créer des projections isométriques
• Navigation : Dans les designs de rose des vents et la recherche de direction

Exemple de Problème

Un carré a une diagonale de 10 unités. Trouvez la longueur du côté du carré et son aire.

Solution :

1. La diagonale d'un carré forme deux triangles 45-45-90
2. La diagonale est l'hypoténuse (c) de ces triangles : \(c = 10\) unités
3. Pour trouver le côté (a), utilisez : \(a = \frac{c}{\sqrt{2}}\) \[a = \frac{10}{\sqrt{2}} \approx 7,07 \text{ unités}\]
4. L'aire du carré est : \[A = a^2 = 7,07^2 \approx 50 \text{ unités carrées}\]

Cet exemple démontre comment la compréhension des triangles 45-45-90 peut aider à résoudre des problèmes impliquant des carrés et d'autres formes géométriques.