Calculateur de Triangle 30-60-90

Qu'est-ce qu'un Triangle 30-60-90 ?

Un triangle 30-60-90 est un triangle rectangle spécial avec des angles mesurant 30°, 60° et 90°. Ce triangle est la moitié d'un triangle équilatéral et possède des proportions uniques qui le rendent précieux en géométrie et trigonométrie.

Propriétés Principales des Triangles 30-60-90

• Le côté le plus court est opposé à l'angle de 30°
• Le côté le plus long (hypoténuse) est opposé à l'angle de 90°
• Le côté de longueur moyenne est opposé à l'angle de 60°
• Le rapport des longueurs des côtés est toujours 1 : √3 : 2

Formules pour les Triangles 30-60-90

Soit \(x\) la longueur du côté le plus court. Alors :

1. Petit côté (opposé à 30°) : \(a = x\)
2. Grand côté (opposé à 60°) : \(b = x\sqrt{3}\)
3. Hypoténuse (opposée à 90°) : \(c = 2x\)
4. Aire : \(A = \frac{x^2\sqrt{3}}{4}\)
5. Périmètre : \(P = x(2 + \sqrt{3})\)

Calculs Étape par Étape

Calculons ces propriétés pour un triangle 30-60-90 avec le côté le plus court \(x = 2\) unités :

1. Petit côté : \[a = x = 2 \text{ unités}\]
2. Grand côté : \[b = x\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \approx 3,46 \text{ unités}\]
3. Hypoténuse : \[c = 2x = 2(2) = 4 \text{ unités}\]
4. Aire : \[A = \frac{x^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \approx 1,73 \text{ unités carrées}\]
5. Périmètre : \[P = x(2 + \sqrt{3}) = 2(2 + \sqrt{3}) \approx 7,46 \text{ unités}\]

Représentation Visuelle

Ce diagramme illustre un triangle 30-60-90 avec les dimensions et angles calculés.

Exemple

Dans un triangle 30-60-90, si le côté le plus court mesure 5 unités, trouvez les longueurs des autres côtés et l'aire du triangle.

Solution :

1. Petit côté : \(a = 5\) unités
2. Grand côté : \(b = 5\sqrt{3} \approx 8,66\) unités
3. Hypoténuse : \(c = 2(5) = 10\) unités
4. Aire : \(A = \frac{5^2\sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4} \approx 10,83\) unités carrées

Cet exemple démontre comment les proportions uniques d'un triangle 30-60-90 nous permettent de calculer facilement tous les côtés et l'aire lorsqu'on connaît la longueur d'un seul côté.