Comprendre les Théorèmes du Triangle

Que sont les Théorèmes du Triangle ?

Les théorèmes du triangle sont des principes fondamentaux en géométrie qui décrivent les relations entre les côtés, les angles et d'autres propriétés des triangles. Ces théorèmes constituent la base pour résoudre divers problèmes géométriques et ont des applications dans de nombreux domaines, notamment l'architecture, l'ingénierie et la physique.

Théorèmes Principaux du Triangle

1. Théorème de Pythagore

   Pour un triangle rectangle avec les côtés a, b et l'hypoténuse c :

   \[a^2 + b^2 = c^2\]

   Ce théorème est utilisé pour trouver la longueur d'un côté inconnu dans un triangle rectangle lorsque deux côtés sont connus.

2. Loi des Sinus

   Pour tout triangle avec les côtés a, b, c et les angles opposés A, B, C :

   \[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

   Cette loi est utile lorsque nous connaissons un côté et son angle opposé, plus un autre côté ou angle.

3. Loi des Cosinus

   Pour tout triangle avec les côtés a, b, c et l'angle C opposé au côté c :

   \[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C\]

   Cette loi est utilisée lorsque nous connaissons trois côtés, ou deux côtés et l'angle compris.

Exemple de Calcul

Résolvons un triangle en utilisant la loi des cosinus :

Données : a = 5, b = 7, c = 8

1. Trouver l'angle C : \[C = \arccos(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab})\] \[C = \arccos(\frac{5^2 + 7^2 - 8^2}{2(5)(7)}) \approx 82,82°\]
2. Trouver l'angle A en utilisant la loi des sinus : \[A = \arcsin(\frac{a \sin C}{c}) = \arcsin(\frac{5 \sin 82,82°}{8}) \approx 38,21°\]
3. Trouver l'angle B : \[B = 180° - A - C = 180° - 38,21° - 82,82° \approx 58,97°\]

Représentation Visuelle

Ce diagramme illustre le triangle résolu avec ses côtés et ses angles.