À propos du calcul du périmètre d'une ellipse

Qu'est-ce que le périmètre d'une ellipse ?

Le périmètre d'une ellipse, également appelé sa circonférence, est la distance autour de l'ellipse. Contrairement à un cercle, le périmètre d'une ellipse n'a pas de formule exacte simple et est généralement calculé à l'aide d'approximations.

Formule du périmètre d'une ellipse

Bien qu'il n'existe pas de formule exacte simple, une approximation couramment utilisée pour le périmètre d'une ellipse est :

\[P \approx \pi(a+b)(1 + \frac{3h}{10 + \sqrt{4-3h}})\]

Où :

• \(P\) est le périmètre de l'ellipse
• \(a\) est la longueur du demi-grand axe
• \(b\) est la longueur du demi-petit axe
• \(h = (\frac{a-b}{a+b})^2\)
• \(\pi\) (pi) vaut approximativement 3,14159

Cette formule, connue sous le nom d'approximation de Ramanujan, est précise à 0,04% près pour n'importe quelle ellipse.

Étapes de calcul

1. Identifier les longueurs du demi-grand axe (\(a\)) et du demi-petit axe (\(b\)) de l'ellipse.
2. Calculer \(h = (\frac{a-b}{a+b})^2\).
3. Substituer ces valeurs dans la formule : \(P \approx \pi(a+b)(1 + \frac{3h}{10 + \sqrt{4-3h}})\).
4. Effectuer le calcul pour obtenir le périmètre approximatif de l'ellipse.

Exemple

Calculons le périmètre d'une ellipse avec un demi-grand axe de 5 unités et un demi-petit axe de 3 unités :

1. Données : \(a = 5\) unités, \(b = 3\) unités
2. Calcul de \(h\) :
   \(h = (\frac{5-3}{5+3})^2 = (\frac{1}{4})^2 = 0,0625\)
3. Application de la formule :
   \(P \approx \pi(5+3)(1 + \frac{3(0,0625)}{10 + \sqrt{4-3(0,0625)}})\)
4. Calcul :
   \(P \approx 25,5265\) unités

Représentation visuelle :

Par conséquent, le périmètre de l'ellipse est d'environ 25,53 unités.