Calculateur d'équation d'ellipse

Qu'est-ce qu'une ellipse ?

Une ellipse est une forme bidimensionnelle où la somme des distances de tout point de l'ellipse à deux points fixes appelés foyers est constante. Le plus grand diamètre est appelé grand axe, et le plus petit diamètre est appelé petit axe.

Équation sous forme standard d'une ellipse

L'équation sous forme standard d'une ellipse avec un grand axe horizontal est donnée par :

\[ \frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \]

où :

• \( (h, k) \) est le centre de l'ellipse
• \( a \) est le demi-grand axe
• \( b \) est le demi-petit axe

Formules pour les ellipses

Soit \(a\) le demi-grand axe, \(b\) le demi-petit axe, \(c\) la distance du centre à chaque foyer, \(e\) l'excentricité, et \(A\) la surface. Alors :

1. Demi-grand axe : \(a\)
2. Demi-petit axe : \(b\)
3. Distance aux foyers : \(c = \sqrt{a^2 - b^2}\)
4. Excentricité : \(e = \frac{c}{a}\)
5. Surface : \(A = \pi a b\)
6. Périmètre : \(C \approx \pi \left[ 3(a + b) - \sqrt{(3a + b)(a + 3b)} \right]\)

Calculs étape par étape

Calculons ces propriétés pour une ellipse avec un demi-grand axe \(a = 5\) unités et un demi-petit axe \(b = 3\) unités :

1. Demi-grand axe : \[a = 5 \text{ unités}\]
2. Demi-petit axe : \[b = 3 \text{ unités}\]
3. Distance aux foyers : \[c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ unités}\]
4. Excentricité : \[e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5} = 0,8\]
5. Surface : \[A = \pi a b = \pi \times 5 \times 3 = 15\pi \approx 47,12 \text{ unités carrées}\]
6. Périmètre : \[C \approx \pi \left[ 3(a + b) - \sqrt{(3a + b)(a + 3b)} \right] = \pi \left[ 3(5 + 3) - \sqrt{(3 \cdot 5 + 3)(5 + 3 \cdot 3)} \right] \approx 25,13 \text{ unités}\]

Représentation visuelle

Ce diagramme illustre l'ellipse avec les dimensions et propriétés calculées.