Calculateur de Somme de Séries

Comprendre la Somme des Séries

Qu'est-ce qu'une Somme de Séries ?

Une somme de séries est le résultat de l'addition de tous les termes d'une séquence de nombres. En mathématiques, nous traitons souvent deux types principaux de séries : les séries arithmétiques et les séries géométriques.

Série Arithmétique

Une série arithmétique est une séquence de nombres où la différence entre chaque terme consécutif est constante. Cette différence constante est appelée la raison commune.

Formule pour la Somme d'une Série Arithmétique

\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\]

Où :

• \(S_n\) est la somme de la série
• \(n\) est le nombre de termes
• \(a_1\) est le premier terme
• \(a_n\) est le dernier terme
• \(a\) est le premier terme
• \(d\) est la différence commune

Exemple de Série Arithmétique

Considérons la série arithmétique : 2, 5, 8, 11, 14

Ici, a = 2, d = 3, et n = 5

En utilisant la formule :

\[S_5 = \frac{5}{2}(2(2) + (5-1)(3)) = \frac{5}{2}(4 + 12) = \frac{5}{2}(16) = 40\]

Série Géométrique

Une série géométrique est une séquence de nombres où chaque terme après le premier est trouvé en multipliant le terme précédent par un nombre fixe non nul appelé la raison commune.

Formule pour la Somme d'une Série Géométrique

Pour r ≠ 1 : \[S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}\]

Pour r = 1 : \[S_n = an\]

Où :

• \(S_n\) est la somme de la série
• \(a\) est le premier terme
• \(r\) est la raison commune
• \(n\) est le nombre de termes

Exemple de Série Géométrique

Considérons la série géométrique : 3, 6, 12, 24

Ici, a = 3, r = 2, et n = 4

En utilisant la formule :

\[S_4 = \frac{3(1-2^4)}{1-2} = \frac{3(1-16)}{-1} = \frac{3(-15)}{-1} = 45\]

Comprendre la somme des séries est crucial dans de nombreux domaines des mathématiques et de leurs applications, y compris la finance (intérêts composés), la physique (calculs de mouvement) et l'informatique (analyse d'algorithmes).