Calculateur d'Arbre de Stern-Brocot

Comprendre l'Arbre de Stern-Brocot

Qu'est-ce qu'un Arbre de Stern-Brocot ?

L'arbre de Stern-Brocot est une structure mathématique qui représente tous les nombres rationnels positifs de manière unique sous forme de fractions irréductibles. Il porte le nom de Moritz Stern et Achille Brocot, qui l'ont découvert indépendamment au 19ème siècle.

Construction de l'Arbre de Stern-Brocot

L'arbre est construit comme suit :

1. Commencer avec les fractions \(\frac{0}{1}\) et \(\frac{1}{1}\) au premier niveau.
2. Pour chaque paire de fractions adjacentes \(\frac{a}{b}\) et \(\frac{c}{d}\), insérer leur médiane \(\frac{a+c}{b+d}\) entre elles.
3. Répéter l'étape 2 indéfiniment.

Formule pour la Médiane

La médiane de deux fractions \(\frac{a}{b}\) et \(\frac{c}{d}\) est définie comme :

\[ \text{Médiane} = \frac{a+c}{b+d} \]

Exemple de Calcul

Construisons les premiers niveaux de l'arbre de Stern-Brocot :

1. Niveau 1 : \(\frac{0}{1}, \frac{1}{1}\)
2. Niveau 2 : \(\frac{0}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{1}\)
3. Niveau 3 : \(\frac{0}{1}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{1}{1}\)

Représentation Visuelle

Ce diagramme montre les trois premiers niveaux de l'arbre de Stern-Brocot.