Calculateur de Fractions Égyptiennes à Longueur Fixe

Comprendre la Conversion en Fractions Égyptiennes à Longueur Fixe

Que sont les Fractions Égyptiennes à Longueur Fixe ?

Les fractions égyptiennes à longueur fixe sont une façon d'exprimer des fractions comme la somme d'un nombre spécifié de fractions unitaires distinctes (fractions avec 1 comme numérateur). Ce système est basé sur la méthode égyptienne ancienne de représentation des fractions, mais avec une touche moderne de limitation du nombre de termes.

Formule pour la Conversion en Fractions Égyptiennes à Longueur Fixe

Le processus de conversion utilise un algorithme itératif, qui peut être représenté comme :

\[f = \frac{n}{d} \approx \sum_{i=1}^{k} \frac{1}{\lceil \frac{1}{r_i} \rceil}\]

Où :

• \(f\) est la fraction originale
• \(n\) est le numérateur
• \(d\) est le dénominateur
• \(k\) est la longueur fixe
• \(r_i\) est le reste à l'étape \(i\)
• \(\lceil x \rceil\) désigne la fonction plafond (le plus petit entier supérieur ou égal à x)

Conversion d'une Fraction en Fractions Égyptiennes à Longueur Fixe

Pour convertir une fraction en sa représentation de fraction égyptienne à longueur fixe, suivez ces étapes :

1. Initialisez le reste comme la fraction originale.
2. Prenez l'inverse du plafond de l'inverse du reste actuel.
3. Soustrayez cette fraction unitaire du reste actuel.
4. Répétez les étapes 2 et 3 jusqu'à ce que la longueur désirée soit atteinte ou que le reste devienne 0.

Étapes de Calcul

Convertissons 5/6 en une fraction égyptienne à longueur fixe (3) :

1. Initialisation : reste = 5/6 ≈ 0,8333
2. \(\frac{1}{\lceil \frac{1}{0,8333} \rceil} = \frac{1}{2}\)

   Nouveau reste : 0,8333 - 0,5 = 0,3333

3. \(\frac{1}{\lceil \frac{1}{0,3333} \rceil} = \frac{1}{3}\)

   Nouveau reste : 0,3333 - 0,3333 = 0

4. Le reste est 0, donc nous nous arrêtons ici.

Exemple avec Représentation Visuelle

Visualisons 5/6 comme une fraction égyptienne à longueur fixe (3) :

Ce diagramme montre 5/6 exprimé comme la somme de fractions unitaires : 1/2 + 1/3. Notez que nous n'avons eu besoin que de deux termes pour représenter 5/6 exactement, donc le troisième terme n'est pas nécessaire.