Calculatrice de Séquence de Farey

Comprendre les Séquences de Farey

Qu'est-ce qu'une Séquence de Farey ?

Une séquence de Farey d'ordre n est la séquence de fractions complètement réduites entre 0 et 1 qui, lorsqu'elles sont dans leur forme la plus simple, ont des dénominateurs inférieurs ou égaux à n, rangées par ordre croissant.

Formule

Il n'y a pas de formule simple pour générer une séquence de Farey, mais nous pouvons décrire le processus :

1. Commencer avec les fractions 0/1 et 1/1.
2. Pour chaque nombre d de 1 à n :
   • Pour chaque nombre k de 1 à d-1 :
   • Si k et d sont premiers entre eux (leur plus grand commun diviseur est 1), ajouter la fraction k/d à la séquence.
3. Trier la séquence par ordre croissant.

Étapes de Calcul

Calculons la séquence de Farey d'ordre 4 :

1. Commencer avec 0/1 et 1/1
2. Pour d = 1, pas de nouvelles fractions
3. Pour d = 2, ajouter 1/2
4. Pour d = 3, ajouter 1/3 et 2/3
5. Pour d = 4, ajouter 1/4 et 3/4 (2/4 n'est pas dans sa forme la plus simple)
6. Trier la séquence

Résultat : 0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1

Exemple et Représentation Visuelle

Ce diagramme illustre la séquence de Farey d'ordre 4 sur un cercle unitaire. Chaque fraction est représentée par un point sur le cercle, avec l'angle par rapport à l'axe x positif proportionnel à la valeur de la fraction.