Calculatrice de Factorisation d'Entiers Gaussiens

Comprendre la Factorisation des Entiers Gaussiens

Que sont les Entiers Gaussiens ?

Les entiers gaussiens sont des nombres complexes de la forme \(a + bi\), où \(a\) et \(b\) sont des entiers et \(i\) est l'unité imaginaire (\(i^2 = -1\)). Ils forment un sous-ensemble des nombres complexes et ont des propriétés de factorisation uniques.

Le Concept de Factorisation des Entiers Gaussiens

La factorisation des entiers gaussiens est le processus de décomposition d'un entier gaussien en produit de nombres premiers gaussiens. Un nombre premier gaussien est un entier gaussien qui ne peut pas être factorisé davantage en entiers gaussiens non unitaires.

La Formule

Pour un entier gaussien \(z = a + bi\) :

\[ z = p_1 \times p_2 \times ... \times p_n \]

Où \(p_1, p_2, ..., p_n\) sont des nombres premiers gaussiens.

Le Processus

1. Calculer la norme : \(N(a + bi) = a^2 + b^2\)
2. Factoriser la norme en ses facteurs premiers
3. Pour chaque facteur premier \(p\) :
   • Si \(p \equiv 3 \pmod{4}\), c'est déjà un nombre premier gaussien
   • Si \(p \equiv 1 \pmod{4}\), trouver \(c\) et \(d\) tels que \(c^2 + d^2 = p\)
4. Combiner les facteurs pour obtenir la factorisation de l'entier gaussien

Exemple

Factorisons l'entier gaussien \(z = 5 + 2i\) :

1. \(N(5 + 2i) = 5^2 + 2^2 = 29\)
2. 29 est premier
3. 29 ≡ 1 (mod 4), donc nous devons trouver \(c\) et \(d\) tels que \(c^2 + d^2 = 29\)
4. Nous trouvons que \(5^2 + 2^2 = 29\)
5. Par conséquent, \(5 + 2i\) est déjà un nombre premier gaussien

Représentation Visuelle

Ce diagramme montre l'entier gaussien 5 + 2i dans le plan complexe.