Comprendre les Fractions Continues

Qu'est-ce qu'une Fraction Continue ?

Une fraction continue est une représentation d'un nombre réel utilisant une séquence d'entiers et de réciproques. C'est une façon alternative d'exprimer des nombres, particulièrement utile pour représenter des nombres irrationnels.

Formule et Notation

Une fraction continue est généralement écrite comme :

\[a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3 + \ddots}}}\]

Où \(a_0\) est un entier, et \(a_1, a_2, a_3, \ldots\) sont des entiers positifs.

Elle est souvent abrégée en \([a_0; a_1, a_2, a_3, \ldots]\).

Étapes de Calcul

Pour convertir un nombre \(x\) en fraction continue :

1. Prenez la partie entière de \(x\) : \(a_0 = \lfloor x \rfloor\)
2. Calculez la partie fractionnaire : \(r = x - a_0\)
3. Si \(r = 0\), arrêtez. Sinon, définissez \(x = \frac{1}{r}\) et retournez à l'étape 1

Exemple

Convertissons 3,245 en fraction continue :

1. \(a_0 = \lfloor 3,245 \rfloor = 3\), \(r = 3,245 - 3 = 0,245\)
2. \(x = \frac{1}{0,245} = 4,0816...\)
3. \(a_1 = \lfloor 4,0816... \rfloor = 4\), \(r = 4,0816... - 4 = 0,0816...\)
4. \(x = \frac{1}{0,0816...} = 12,25\)
5. \(a_2 = \lfloor 12,25 \rfloor = 12\), \(r = 12,25 - 12 = 0,25\)
6. \(x = \frac{1}{0,25} = 4\)
7. \(a_3 = 4\)

Donc, 3,245 ≈ [3; 4, 12, 4]

Représentation Visuelle

Ce diagramme représente visuellement la fraction continue pour 3,245.