Transposée de Matrice

Qu'est-ce qu'une Transposée de Matrice ?

La transposée d'une matrice A, notée A^T, est la matrice formée en transformant les lignes de A en colonnes (ou de manière équivalente, en transformant les colonnes de A en lignes). Pour une matrice A de dimensions m × n, sa transposée A^T est une matrice de dimensions n × m.

La Formule de la Transposée de Matrice

Pour une matrice A, sa transposée A^T est définie comme :

\[(A^T)_{ij} = A_{ji}\]

Où :

• (A^T)_{ij} est l'élément à la i-ème ligne et j-ème colonne de A^T
• A_{ji} est l'élément à la j-ème ligne et i-ème colonne de A

Étapes de Calcul

1. Identifier les dimensions de la matrice originale A (m × n)
2. Créer une nouvelle matrice A^T avec les dimensions n × m
3. Pour chaque élément dans A^T, copier l'élément correspondant de A, en échangeant les indices de ligne et de colonne

Exemple de Calcul

Calculons la transposée de la matrice A :

\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}\]

1. Identifier les dimensions : A est une matrice 2 × 3

2. Créer A^T avec les dimensions 3 × 2

3. Copier les éléments, en échangeant les indices de ligne et de colonne :

\[A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}\]

Représentation Visuelle

Ce diagramme représente visuellement comment les éléments de la matrice A sont réorganisés pour former sa transposée A^T. Les flèches montrent comment chaque élément se déplace de sa position dans A vers sa nouvelle position dans A^T.