Une matrice carrée est une matrice avec un nombre égal de lignes et de colonnes. Ces matrices ont des propriétés spéciales et sont cruciales dans de nombreuses applications mathématiques et pratiques.
Le déterminant est une valeur scalaire qui peut être calculée à partir des éléments d'une matrice carrée. Il a de nombreuses applications importantes en algèbre linéaire.
Formule : Pour une matrice 2x2 \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\), le déterminant est :
\[\det(A) = ad - bc\]L'inverse d'une matrice carrée A, notée A^(-1), est une matrice qui, lorsqu'elle est multipliée par A, donne la matrice identité.
Formule : Pour une matrice 2x2, si \(\det(A) \neq 0\), l'inverse est :
\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]Les valeurs propres sont des scalaires spéciaux associés à une matrice carrée. Ce sont les solutions de l'équation caractéristique.
Formule : Pour une matrice A, les valeurs propres λ satisfont :
\[\det(A - \lambda I) = 0\]La trace d'une matrice carrée est la somme des éléments sur sa diagonale principale (du coin supérieur gauche au coin inférieur droit).
Formule : Pour une matrice A de taille n×n :
\[tr(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}\]Calculons la trace pour la matrice :
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]Étapes :
Résultat : La trace de A est 5.
Ce diagramme met en évidence les éléments diagonaux (en bleu) utilisés dans le calcul de la trace.
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