Rang de Matrice 3x3

Qu'est-ce que le Rang d'une Matrice ?

Le rang d'une matrice est un concept fondamental en algèbre linéaire. Il représente la dimension de l'espace vectoriel engendré par les colonnes (ou les lignes) de la matrice. En d'autres termes, c'est le nombre de colonnes ou de lignes linéairement indépendantes dans la matrice.

La Formule du Rang de Matrice

Pour une matrice A de 3x3, le rang peut être déterminé par les étapes suivantes :

1. Calculer le déterminant de A. S'il est non nul, rang(A) = 3.
2. Si det(A) = 0, vérifier toutes les sous-matrices 2x2. Si l'une d'elles a un déterminant non nul, rang(A) = 2.
3. Si tous les déterminants 2x2 sont nuls, vérifier si un élément est non nul. Si oui, rang(A) = 1.
4. Si tous les éléments sont nuls, rang(A) = 0.

Étapes de Calcul

Pour calculer le rang d'une matrice 3x3 :

1. Calculer le déterminant de la matrice complète : \[\det(A) = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})\]
2. Si det(A) ≠ 0, rang(A) = 3
3. Si det(A) = 0, vérifier toutes les sous-matrices 2x2 : \[\det\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}, \det\begin{pmatrix}a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23}\end{pmatrix}, \text{ etc.}\]
4. Si un déterminant 2x2 ≠ 0, rang(A) = 2
5. Si tous les déterminants 2x2 = 0, vérifier si un élément ≠ 0
6. Si un élément ≠ 0, rang(A) = 1 ; sinon, rang(A) = 0

Exemple de Calcul

Calculons le rang de la matrice A :

\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\]

1. Calculer det(A) :

\[\begin{aligned} \det(A) &= 1(5\cdot9 - 6\cdot8) - 2(4\cdot9 - 6\cdot7) + 3(4\cdot8 - 5\cdot7) \\ &= 1(-3) - 2(-6) + 3(-3) \\ &= -3 + 12 - 9 \\ &= 0 \end{aligned}\]

2. Vérifier les sous-matrices 2x2 :

\[\det\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 4 & 5\end{pmatrix} = 1\cdot5 - 2\cdot4 = -3 \neq 0\]

Comme nous avons trouvé un déterminant 2x2 non nul, le rang de A est 2.

Représentation Visuelle

Ce diagramme représente visuellement la matrice A 3x3 de rang 2.