Rang d'une Matrice

Qu'est-ce que le Rang d'une Matrice ?

Le rang d'une matrice est un concept fondamental en algèbre linéaire qui mesure la "non-dégénérescence" du système d'équations linéaires représenté par la matrice. Il est défini comme le nombre maximum de vecteurs lignes linéairement indépendants dans la matrice, ou de manière équivalente, le nombre maximum de vecteurs colonnes linéairement indépendants.

Formule et Signification

Il n'existe pas de formule unique pour calculer le rang d'une matrice, mais il peut être déterminé par diverses méthodes :

• Élimination de Gauss pour obtenir la forme échelonnée
• Compter le nombre de lignes non nulles dans la forme échelonnée
• Calculer la dimension de l'espace des colonnes ou de l'espace des lignes

Le rang d'une matrice A est souvent noté rang(A) ou r(A).

Étapes de Calcul

Pour calculer le rang d'une matrice en utilisant l'élimination de Gauss :

1. Convertir la matrice en forme échelonnée en utilisant des opérations élémentaires sur les lignes
2. Compter le nombre de lignes non nulles dans la matrice résultante

Exemple

Calculons le rang de la matrice 3x3 suivante :

\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}\]

Étape 1 : Convertir en forme échelonnée

\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]

Étape 2 : Compter les lignes non nulles

Il n'y a qu'une seule ligne non nulle, donc rang(A) = 1

Représentation Visuelle

Ce diagramme montre la forme échelonnée de la matrice exemple. Les cellules vertes représentent les entrées non nulles, tandis que les cellules rouges représentent les entrées nulles.