Multiplication de matrices

Qu'est-ce que la multiplication de matrices ?

La multiplication de matrices est une opération fondamentale en algèbre linéaire. Elle consiste à multiplier deux matrices pour produire une nouvelle matrice. Cette opération est cruciale dans divers domaines, notamment l'infographie, la physique et l'analyse de données.

La formule de multiplication de matrices

Pour que deux matrices A et B puissent être multipliées, le nombre de colonnes de A doit être égal au nombre de lignes de B. Si A est une matrice m × n et B est une matrice n × p, leur produit AB sera une matrice m × p.

La formule de multiplication de matrices est :

\[(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}\]

Où :

• \((AB)_{ij}\) est l'élément à la i-ème ligne et j-ème colonne de la matrice résultante
• \(a_{ik}\) est l'élément à la i-ème ligne et k-ème colonne de la matrice A
• \(b_{kj}\) est l'élément à la k-ème ligne et j-ème colonne de la matrice B
• n est le nombre de colonnes dans A (qui est égal au nombre de lignes dans B)

Étapes de calcul

Multiplions deux matrices 2×2 :

\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}\]

1. Calculer \((AB)_{11}\): \[(AB)_{11} = (1 \times 5) + (2 \times 7) = 5 + 14 = 19\]
2. Calculer \((AB)_{12}\): \[(AB)_{12} = (1 \times 6) + (2 \times 8) = 6 + 16 = 22\]
3. Calculer \((AB)_{21}\): \[(AB)_{21} = (3 \times 5) + (4 \times 7) = 15 + 28 = 43\]
4. Calculer \((AB)_{22}\): \[(AB)_{22} = (3 \times 6) + (4 \times 8) = 18 + 32 = 50\]

Le résultat est :

\[AB = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}\]

Représentation visuelle

Ce diagramme illustre la multiplication des matrices A et B pour produire le résultat AB.