Vecteurs Propres et Valeurs Propres pour les Matrices 3x3

Que sont les Vecteurs Propres et les Valeurs Propres ?

Les vecteurs propres et les valeurs propres sont des concepts fondamentaux en algèbre linéaire avec de nombreuses applications en physique, en ingénierie et en science des données. Pour une matrice carrée A, un vecteur propre est un vecteur non nul v qui, lorsqu'il est multiplié par A, donne un multiple scalaire de lui-même. Ce scalaire est appelé la valeur propre.

L'Équation des Valeurs Propres

Mathématiquement, nous exprimons cela comme :

\[A v = \lambda v\]

Où :

• A est une matrice 3x3
• v est un vecteur propre (non nul)
• \(\lambda\) (lambda) est la valeur propre correspondante

Calcul des Vecteurs Propres et des Valeurs Propres pour les Matrices 3x3

Pour une matrice 3x3 A, nous suivons ces étapes :

1. Trouver l'équation caractéristique : \(\det(A - \lambda I) = 0\)
2. Résoudre pour \(\lambda\) pour obtenir les valeurs propres
3. Pour chaque \(\lambda\), résoudre \((A - \lambda I)v = 0\) pour trouver le vecteur propre correspondant

Exemple de Calcul

Calculons les vecteurs propres et les valeurs propres pour la matrice :

\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\]

1. Équation caractéristique : \[\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 & 3 \\ 4 & 5-\lambda & 6 \\ 7 & 8 & 9-\lambda \end{vmatrix} = -\lambda^3 + 15\lambda^2 - 18\lambda = 0\]
2. Résoudre pour \(\lambda\) : \[\lambda(\lambda^2 - 15\lambda + 18) = 0\] \[\lambda_1 = 0, \lambda_2 = \frac{15 + \sqrt{33}}{2}, \lambda_3 = \frac{15 - \sqrt{33}}{2}\]
3. Trouver les vecteurs propres : Pour \(\lambda_1 = 0\) : \[(A - 0I)v = Av = 0\] \[v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}\] Pour \(\lambda_2 = \frac{15 + \sqrt{33}}{2}\) : \[(A - \lambda_2 I)v = 0\] \[v_2 \approx \begin{bmatrix} 0.464 \\ 0.570 \\ 0.677 \end{bmatrix}\] Pour \(\lambda_3 = \frac{15 - \sqrt{33}}{2}\) : \[(A - \lambda_3 I)v = 0\] \[v_3 \approx \begin{bmatrix} -0.884 \\ 0.240 \\ 0.405 \end{bmatrix}\]

Représentation Visuelle

Ce diagramme montre les vecteurs propres v₁ (bleu), v₂ (rouge), et v₃ (vert) pour l'exemple de matrice 3x3, projetés sur un plan 2D.