La règle de Cramer est une méthode puissante pour résoudre des systèmes d'équations linéaires en utilisant des déterminants. Elle fournit une formule directe pour les solutions d'un système d'équations linéaires avec autant d'équations que d'inconnues, valable chaque fois que le système a une solution unique.
Pour un système d'équations linéaires :
\[ \begin{cases} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2 \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3 \end{cases} \]La règle de Cramer stipule que la solution est donnée par :
\[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta}, \quad z = \frac{\Delta_z}{\Delta} \]Où :
Résolvons le système :
\[ \begin{cases} 2x - y + 3z = 9 \\ x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \end{cases} \]Étape 1 : Calculer \(\Delta\)
\[ \Delta = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 4 \]Étape 2 : Calculer \(\Delta_x\), \(\Delta_y\), et \(\Delta_z\)
\[ \Delta_x = \begin{vmatrix} 9 & -1 & 3 \\ 6 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 8 \] \[ \Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 9 & 3 \\ 1 & 6 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0 \] \[ \Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 9 \\ 1 & 1 & 6 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 8 \]Étape 3 : Résoudre pour x, y, et z
\[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{8}{4} = 2 \] \[ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{0}{4} = 0 \] \[ z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{8}{4} = 2 \]Par conséquent, la solution est x = 2, y = 0, z = 2.
Ce diagramme montre le point de solution (2, 0, 2) dans le plan XY. La coordonnée Z est représentée par la taille du point.
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