Multiplication de Matrices 4x4

Qu'est-ce que la Multiplication de Matrices ?

La multiplication de matrices est une opération fondamentale en algèbre linéaire. Elle implique la multiplication de deux matrices pour produire une nouvelle matrice. Pour les matrices 4x4, nous multiplions une matrice 4x4 par une autre matrice 4x4 pour obtenir une matrice résultante 4x4.

La Formule de Multiplication de Matrices

Pour deux matrices 4x4 A et B, leur produit C = AB est défini comme :

\[C_{ij} = \sum_{k=1}^4 A_{ik} \cdot B_{kj}\]

Où :

• \(C_{ij}\) est l'élément à la i-ème ligne et j-ème colonne de la matrice résultante C
• \(A_{ik}\) est l'élément à la i-ème ligne et k-ème colonne de la matrice A
• \(B_{kj}\) est l'élément à la k-ème ligne et j-ème colonne de la matrice B
• La somme est prise sur k de 1 à 4

Étapes de Calcul

Pour multiplier deux matrices 4x4 :

1. Pour chaque élément de la matrice résultante :
2. Multiplier les éléments correspondants de la ligne de A et de la colonne de B
3. Additionner ces produits
4. Placer la somme dans la position correspondante de la matrice résultante C
5. Répéter ce processus pour les 16 éléments de la matrice résultante

Exemple de Calcul

Multiplions la matrice A par la matrice B :

\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 \\ 25 & 26 & 27 & 28 \\ 29 & 30 & 31 & 32 \end{bmatrix}\]

Calcul du premier élément de C :

\[C_{11} = (1 \cdot 17) + (2 \cdot 21) + (3 \cdot 25) + (4 \cdot 29) = 250\]

En continuant ce processus pour tous les éléments, nous obtenons :

\[C = AB = \begin{bmatrix} 250 & 260 & 270 & 280 \\ 618 & 644 & 670 & 696 \\ 986 & 1028 & 1070 & 1112 \\ 1354 & 1412 & 1470 & 1528 \end{bmatrix}\]

Représentation Visuelle

Ce diagramme représente visuellement la multiplication de la matrice A et de la matrice B, résultant en AB.