Déterminant de Matrice 4x4

Qu'est-ce qu'un Déterminant de Matrice ?

Le déterminant d'une matrice carrée est une valeur scalaire qui fournit des informations importantes sur les propriétés de la matrice. Pour une matrice 4x4, le déterminant est un nombre unique qui représente une caractéristique spécifique de la matrice.

La Formule du Déterminant

Pour une matrice A 4x4, son déterminant peut être calculé en utilisant l'expansion de Laplace le long de la première ligne :

$$det(A)=a_{11}{M}_{11}-a_{12}{M}_{12}+a_{13}{M}_{13}-a_{14}{M}_{14}$$

Où :

• a_{ij} est l'élément dans la i-ème ligne et la j-ème colonne
• M_{ij} est le déterminant de la matrice 3x3 formée en supprimant la i-ème ligne et la j-ème colonne

Étapes de Calcul

1. Choisir une ligne ou une colonne pour l'expansion (généralement la première ligne)
2. Pour chaque élément de la ligne/colonne choisie :
   • Calculer le cofacteur (le déterminant de la matrice mineure 3x3)
   • Multiplier l'élément par son cofacteur, en alternant les signes
3. Faire la somme de tous ces produits

Exemple de Calcul

Calculons le déterminant de la matrice A :

$$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 5& 6& 7& 8\\ 9& 10& 11& 12\\ 13& 14& 15& 16\end{array}\right]$$

1. Développer le long de la première ligne :

$$det(A)=1M_{11}-2M_{12}+3M_{13}-4M_{14}$$

2. Calculer chaque déterminant 3x3 :

$$M_{11}=det\left[\begin{array}{ccc}6& 7& 8\\ 10& 11& 12\\ 14& 15& 16\end{array}\right]=0$$ $$M_{12}=det\left[\begin{array}{ccc}5& 7& 8\\ 9& 11& 12\\ 13& 15& 16\end{array}\right]=0$$ $$M_{13}=det\left[\begin{array}{ccc}5& 6& 8\\ 9& 10& 12\\ 13& 14& 16\end{array}\right]=0$$ $$M_{14}=det\left[\begin{array}{ccc}5& 6& 7\\ 9& 10& 11\\ 13& 14& 15\end{array}\right]=0$$

3. Substituer et calculer :

$$det(A)=1(0)-2(0)+3(0)-4(0)=0$$

Représentation Visuelle

Ce diagramme représente visuellement la matrice A 4x4 pour laquelle nous avons calculé le déterminant.