Matrice Inverse 4x4

Qu'est-ce qu'une Matrice Inverse ?

L'inverse d'une matrice carrée A, notée A^(-1), est une matrice qui, lorsqu'elle est multipliée par A, donne la matrice identité. Pour une matrice 4x4, si A * A^(-1) = A^(-1) * A = I_4, où I_4 est la matrice identité 4x4, alors A^(-1) est l'inverse de A.

La Formule de la Matrice Inverse

Pour une matrice A 4x4, son inverse A^(-1) est définie comme :

\[A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \cdot adj(A)\]

Où :

• det(A) est le déterminant de A
• adj(A) est la matrice adjointe de A

Étapes de Calcul

1. Calculer le déterminant de A
2. Si le déterminant est zéro, la matrice n'est pas inversible
3. Si le déterminant est non nul, calculer la matrice adjointe de A
4. Diviser chaque élément de la matrice adjointe par le déterminant

Exemple de Calcul

Calculons l'inverse de la matrice A :

\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{bmatrix}\]

1. Calculer le déterminant :

\[det(A) = 0\]

Comme le déterminant est zéro, cette matrice n'est pas inversible.

Pour un exemple inversible, utilisons :

\[A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & 0 & 5 \\ 2 & 1 & 4 & -3 \\ 1 & 0 & 5 & 0 \end{bmatrix}\]

1. Calculer le déterminant :

\[det(A) = 30\]

2. Calculer la matrice adjointe :

\[adj(A) = \begin{bmatrix} -20 & 5 & 10 & 0 \\ -10 & 0 & 10 & -5 \\ 0 & -5 & 0 & 5 \\ -5 & 6 & -5 & 0 \end{bmatrix}\]

3. Calculer l'inverse :

\[A^{-1} = \frac{1}{30} \cdot \begin{bmatrix} -20 & 5 & 10 & 0 \\ -10 & 0 & 10 & -5 \\ 0 & -5 & 0 & 5 \\ -5 & 6 & -5 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2/3 & 1/6 & 1/3 & 0 \\ -1/3 & 0 & 1/3 & -1/6 \\ 0 & -1/6 & 0 & 1/6 \\ -1/6 & 1/5 & -1/6 & 0 \end{bmatrix}\]

Représentation Visuelle

Ce diagramme représente visuellement la matrice originale A et son inverse A^(-1).