Multiplication de Matrices 3x3

Qu'est-ce que la Multiplication de Matrices ?

La multiplication de matrices est une opération fondamentale en algèbre linéaire. Pour deux matrices A et B, leur produit AB n'est défini que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Dans le cas des matrices 3x3, les deux matrices ont 3 lignes et 3 colonnes, rendant leur multiplication toujours possible.

La Formule de Multiplication de Matrices

Pour deux matrices 3x3 A et B, leur produit C = AB est défini comme :

\[C_{ij} = \sum_{k=1}^{3} A_{ik} \times B_{kj}\]

Où :

• \(C_{ij}\) est l'élément à la i-ème ligne et j-ème colonne de la matrice résultante C
• \(A_{ik}\) est l'élément à la i-ème ligne et k-ème colonne de la matrice A
• \(B_{kj}\) est l'élément à la k-ème ligne et j-ème colonne de la matrice B

Étapes de Calcul

Pour multiplier deux matrices 3x3 :

1. Pour chaque élément de la matrice résultante :
   • Multiplier les éléments correspondants de la ligne de A et de la colonne de B
   • Additionner ces produits
2. Répéter ce processus pour les 9 éléments de la matrice résultante

Exemple de Calcul

Multiplions la matrice A par la matrice B :

\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 7 \\ 6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}\]

Calcul du premier élément de C :

\[C_{11} = (1 \times 9) + (2 \times 6) + (3 \times 3) = 9 + 12 + 9 = 30\]

En continuant ce processus pour tous les éléments, nous obtenons :

\[C = AB = \begin{bmatrix} 30 & 24 & 18 \\ 84 & 69 & 54 \\ 138 & 114 & 90 \end{bmatrix}\]

Représentation Visuelle

Ce diagramme représente visuellement la multiplication de la matrice A et de la matrice B, résultant en A × B.