Multiplication de matrices 2x2

Qu'est-ce que la multiplication de matrices 2x2 ?

La multiplication de matrices est une opération fondamentale en algèbre linéaire. Pour les matrices 2x2, elle implique la multiplication de deux matrices 2x2 pour produire une nouvelle matrice 2x2. Cette opération est cruciale dans divers domaines, notamment l'infographie, la physique et l'analyse de données.

La formule

Étant donné deux matrices 2x2 A et B :

\[A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}\]

Le produit C = AB est calculé comme suit :

\[C = AB = \begin{bmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \end{bmatrix}\]

Étapes de calcul

1. Multipliez les éléments de la première ligne de A avec les éléments correspondants de la première colonne de B et additionnez les résultats pour obtenir c₁₁.
2. Multipliez les éléments de la première ligne de A avec les éléments correspondants de la deuxième colonne de B et additionnez les résultats pour obtenir c₁₂.
3. Multipliez les éléments de la deuxième ligne de A avec les éléments correspondants de la première colonne de B et additionnez les résultats pour obtenir c₂₁.
4. Multipliez les éléments de la deuxième ligne de A avec les éléments correspondants de la deuxième colonne de B et additionnez les résultats pour obtenir c₂₂.

Exemple

Multiplions ces deux matrices :

\[A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}\]

Calcul étape par étape :

1. \(c_{11} = (2 \times 5) + (3 \times 7) = 10 + 21 = 31\)
2. \(c_{12} = (2 \times 6) + (3 \times 8) = 12 + 24 = 36\)
3. \(c_{21} = (1 \times 5) + (4 \times 7) = 5 + 28 = 33\)
4. \(c_{22} = (1 \times 6) + (4 \times 8) = 6 + 32 = 38\)

Le résultat est :

\[C = AB = \begin{bmatrix} 31 & 36 \\ 33 & 38 \end{bmatrix}\]

Représentation visuelle

Ce diagramme illustre la multiplication des matrices A et B pour produire la matrice résultante C.