Addition et Soustraction de Matrices 2x2

Qu'est-ce que l'addition et la soustraction de matrices 2x2 ?

L'addition et la soustraction de matrices sont des opérations fondamentales en algèbre linéaire. Pour les matrices 2x2, ces opérations impliquent l'addition ou la soustraction des éléments correspondants de deux matrices pour produire une nouvelle matrice 2x2. Ces opérations sont cruciales dans divers domaines, notamment l'infographie, la physique et l'analyse de données.

Les formules

Étant donné deux matrices 2x2 A et B :

\[A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}\]

Le produit C = AB est calculé comme suit :

\[C = AB = \begin{bmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \end{bmatrix}\]

Étapes de calcul

1. Multipliez les éléments de la première ligne de A avec les éléments correspondants de la première colonne de B et additionnez les résultats pour obtenir c₁₁.
2. Multipliez les éléments de la première ligne de A avec les éléments correspondants de la deuxième colonne de B et additionnez les résultats pour obtenir c₁₂.
3. Multipliez les éléments de la deuxième ligne de A avec les éléments correspondants de la première colonne de B et additionnez les résultats pour obtenir c₂₁.
4. Multipliez les éléments de la deuxième ligne de A avec les éléments correspondants de la deuxième colonne de B et additionnez les résultats pour obtenir c₂₂.

Exemple

Multiplions ces deux matrices :

\[A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}\]

Calcul étape par étape :

1. \(c_{11} = (2 \times 5) + (3 \times 7) = 10 + 21 = 31\)
2. \(c_{12} = (2 \times 6) + (3 \times 8) = 12 + 24 = 36\)
3. \(c_{21} = (1 \times 5) + (4 \times 7) = 5 + 28 = 33\)
4. \(c_{22} = (1 \times 6) + (4 \times 8) = 6 + 32 = 38\)

Le résultat est :

\[C = AB = \begin{bmatrix} 31 & 36 \\ 33 & 38 \end{bmatrix}\]

Représentation visuelle

This diagram illustrates the multiplication of matrices A and B to produce the result matrix C.