Matrice Inverse 2x2

Qu'est-ce qu'une Matrice Inverse 2x2 ?

L'inverse d'une matrice 2x2 A, notée A⁻¹, est une matrice qui, lorsqu'elle est multipliée par A, donne la matrice identité. En d'autres termes, AA⁻¹ = A⁻¹A = I, où I est la matrice identité 2x2.

La Formule

Pour une matrice 2x2 A :

\[A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\]

Son inverse A⁻¹ est calculée comme suit :

\[A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]

Où :

• |A| = ad - bc est le déterminant de A
• La matrice [d -b; -c a] est l'adjointe de A

Étapes de Calcul

1. Calculer le déterminant |A| = ad - bc
2. Si le déterminant est nul, la matrice n'est pas inversible
3. Si le déterminant est non nul, calculer la matrice adjointe
4. Diviser la matrice adjointe par le déterminant pour obtenir l'inverse

Exemple

Trouvons l'inverse de cette matrice :

\[A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}\]

Calcul étape par étape :

1. Déterminant : |A| = (4 × 6) - (7 × 2) = 24 - 14 = 10
2. Matrice adjointe : \[adj(A) = \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix}\]
3. Inverse : \[A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0,6 & -0,7 \\ -0,2 & 0,4 \end{bmatrix}\]

Représentation Visuelle

Ce diagramme illustre la matrice originale A et son inverse A⁻¹.