Résultat

Étapes de calcul

Représentation visuelle

À propos des paraboles

Qu'est-ce qu'une parabole ?

Une parabole est une courbe en forme de U qui représente une fonction quadratique. Elle est définie par l'équation générale \(f(x) = ax^2 + bx + c\), où \(a\), \(b\), et \(c\) sont des constantes et \(a \neq 0\).

Formule

La forme standard d'une parabole est :

\[f(x) = a(x - h)^2 + k\]

Où :

• \(a\) détermine la direction et la largeur de la parabole
• \((h, k)\) est le sommet de la parabole

Points clés d'une parabole

1. Sommet : \((h, k) = (-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))\)
2. Axe de symétrie : \(x = -\frac{b}{2a}\)
3. Foyer : \((h, k + \frac{1}{4a})\) pour \(a > 0\), ou \((h, k - \frac{1}{4a})\) pour \(a < 0\)
4. Directrice : \(y = k - \frac{1}{4a}\) pour \(a > 0\), ou \(y = k + \frac{1}{4a}\) pour \(a < 0\)

Étapes de calcul

1. Identifier \(a\), \(b\), et \(c\) à partir de l'équation donnée
2. Calculer la coordonnée x du sommet : \(h = -\frac{b}{2a}\)
3. Calculer la coordonnée y du sommet : \(k = f(h) = a(h)^2 + bh + c\)
4. Déterminer le foyer et la directrice
5. Trouver les intersections avec l'axe x (s'il y en a) en utilisant la formule quadratique
6. Trouver l'intersection avec l'axe y en calculant \(f(0)\)

Exemple

Analysons la parabole \(f(x) = 2x^2 - 4x - 2\) :

1. \(a = 2\), \(b = -4\), \(c = -2\)
2. Coordonnée x du sommet : \(h = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(2)} = 1\)
3. Coordonnée y du sommet : \(k = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) - 2 = -4\)
4. Sommet : (1, -4)
5. Foyer : \((1, -4 + \frac{1}{4(2)}) = (1, -3.875)\)
6. Directrice : \(y = -4 - \frac{1}{4(2)} = -4.125\)