Calculateur de la Troisième Loi de Kepler

Qu'est-ce que la Troisième Loi de Kepler ?

La Troisième Loi de Kepler, également connue sous le nom de Loi des Périodes, est un principe fondamental en astronomie qui décrit la relation entre la période orbitale d'une planète et sa distance moyenne au soleil. Cette loi s'applique à tout système où un corps orbite autour d'un autre sous l'influence de la gravité.

Formule

La Troisième Loi de Kepler s'exprime mathématiquement comme suit :

\[ \frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{GM} \]

Où :

• \( T \) est la période orbitale de la planète (en secondes)
• \( a \) est le demi-grand axe de l'orbite (en mètres)
• \( G \) est la constante gravitationnelle (\( 6,67430 \times 10^{-11} \text{ m}^3 \text{ kg}^{-1} \text{ s}^{-2} \))
• \( M \) est la masse du corps central (en kilogrammes)

Étapes de calcul

Calculons la période orbitale de la Terre autour du Soleil :

1. Données :
   • Demi-grand axe de l'orbite terrestre (\( a \)) = \( 1,496 \times 10^{11} \text{ m} \)
   • Masse du Soleil (\( M \)) = \( 1,989 \times 10^{30} \text{ kg} \)
2. Réarrangeons la Troisième Loi de Kepler pour résoudre \( T \) : \[ T = \sqrt{\frac{4\pi^2a^3}{GM}} \]
3. Substituons les valeurs connues : \[ T = \sqrt{\frac{4\pi^2(1,496 \times 10^{11} \text{ m})^3}{(6,67430 \times 10^{-11} \text{ m}^3 \text{ kg}^{-1} \text{ s}^{-2})(1,989 \times 10^{30} \text{ kg})}} \]
4. Effectuons le calcul : \[ T \approx 3,156 \times 10^7 \text{ s} \]
5. Convertissons en années : \[ T \approx 1,000 \text{ année} \]

Exemple et représentation visuelle

Visualisons la Troisième Loi de Kepler pour les planètes intérieures de notre système solaire :

Ce diagramme illustre :

• Le Soleil au centre (jaune)
• Les orbites de Mercure (rouge), Vénus (vert), Terre (bleu) et Mars (orange)
• À mesure que la distance orbitale augmente, la période orbitale augmente plus rapidement (proportionnelle à a³/²)