Calculateur de distance entre un point et un plan

Qu'est-ce que la distance la plus courte d'un point à un plan ?

La distance la plus courte d'un point à un plan est la longueur du segment de ligne perpendiculaire du point au plan. Cette distance représente la séparation minimale entre le point et tout point du plan.

Comment calculer la distance d'un point à un plan

Pour trouver la distance la plus courte d'un point à un plan, nous suivons ces étapes :

1. Identifier l'équation du plan sous la forme \(Ax + By + Cz + D = 0\)
2. Déterminer les coordonnées du point \((x_0, y_0, z_0)\)
3. Appliquer la formule de distance
4. Simplifier et calculer la valeur absolue

Formule

La formule pour la distance \(d\) d'un point \((x_0, y_0, z_0)\) à un plan \(Ax + By + Cz + D = 0\) est :

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

Où :

• \(A, B, C, D\) sont les coefficients de l'équation du plan
• \((x_0, y_0, z_0)\) sont les coordonnées du point
• \(|\cdot|\) désigne la valeur absolue

Étapes de calcul

1. Substituer les coordonnées du point et les coefficients du plan dans la formule
2. Calculer le numérateur : \(|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|\)
3. Calculer le dénominateur : \(\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}\)
4. Diviser le numérateur par le dénominateur

Exemple et représentation visuelle

Trouvons la distance du point P(1, 2, 3) au plan 2x - y + 2z - 4 = 0 :

Étape 1 : Identifier A = 2, B = -1, C = 2, D = -4, x₀ = 1, y₀ = 2, z₀ = 3

Étape 2 : \(|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D| = |2(1) + (-1)(2) + 2(3) + (-4)| = |2 - 2 + 6 - 4| = |2| = 2\)

Étape 3 : \(\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3\)

Étape 4 : \(d = \frac{2}{3} \approx 0,667\)

Dans ce diagramme, le plan bleu représente 2x - y + 2z - 4 = 0. Le point rouge P(1,2,3) est montré au-dessus du plan. Le segment de ligne rouge représente la distance la plus courte de P au plan, que nous avons calculée comme étant approximativement 0,667 unités.

Cas particuliers

1. Distance au plan xy : Pour le plan xy (z = 0), la formule se simplifie à \(d = |z_0|\), où z₀ est la coordonnée z du point.

2. Distance depuis l'origine : Pour l'origine (0, 0, 0), la formule devient \(d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\), où D est le terme constant dans l'équation du plan.