Calculateur de distance entre lignes parallèles

Qu'est-ce que la distance entre lignes parallèles ?

La distance entre des lignes parallèles est la longueur la plus courte d'un segment de ligne qui est perpendiculaire aux deux lignes et a ses extrémités sur ces lignes. Cette distance reste constante à tous les points le long des lignes parallèles.

Comment calculer la distance entre lignes parallèles

Pour trouver la distance entre deux lignes parallèles, nous suivons ces étapes :

1. S'assurer que les lignes sont sous forme générale : \(ax + by + c = 0\)
2. Vérifier que les lignes sont bien parallèles
3. Choisir un point sur une ligne
4. Calculer la distance perpendiculaire de ce point à l'autre ligne

Formule

La formule pour la distance \(d\) entre deux lignes parallèles \(a_1x + b_1y + c_1 = 0\) et \(a_2x + b_2y + c_2 = 0\) est :

\[ d = \frac{|c_2 - c_1|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}} \]

Où :

• \(a_1, b_1, c_1\) sont les coefficients de la première ligne
• \(a_2, b_2, c_2\) sont les coefficients de la deuxième ligne
• \(|\cdot|\) désigne la valeur absolue

Étapes de calcul

1. Vérifier le parallélisme : Vérifier si \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\)
2. Calculer \(|c_2 - c_1|\)
3. Calculer \(\sqrt{a_1^2 + b_1^2}\)
4. Diviser les résultats des étapes 2 et 3

Exemple et représentation visuelle

Trouvons la distance entre ces lignes parallèles :

\(L_1: 3x - 4y + 5 = 0\)

\(L_2: 3x - 4y - 7 = 0\)

Étape 1 : Vérifier le parallélisme (déjà confirmé)

Étape 2 : \(|c_2 - c_1| = |-7 - 5| = 12\)

Étape 3 : \(\sqrt{a_1^2 + b_1^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5\)

Étape 4 : \(d = \frac{12}{5} = 2.4\)

Dans ce diagramme, la ligne bleue représente L₁ et la ligne rouge représente L₂. La ligne verte en pointillés montre la distance perpendiculaire entre les lignes parallèles, qui est de 2,4 unités. Cette distance reste constante pour tout segment de ligne perpendiculaire tracé entre ces lignes parallèles.