Le circoncentre d'un triangle est un point spécial où les trois médiatrices des côtés du triangle se rencontrent. C'est comme trouver le centre d'un cercle qui touche les trois coins du triangle !
Pour trouver le circoncentre, nous utilisons les coordonnées des trois coins du triangle. C'est comme résoudre un puzzle pour trouver l'endroit parfait qui est à égale distance des trois points.
La formule magique pour trouver le circoncentre d'un triangle avec les sommets (x₁, y₁), (x₂, y₂) et (x₃, y₃) est :
\[ U_x = \frac{(x_1^2 + y_1^2)(y_2 - y_3) + (x_2^2 + y_2^2)(y_3 - y_1) + (x_3^2 + y_3^2)(y_1 - y_2)}{2[(x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2))]} \]
\[ U_y = \frac{(x_1^2 + y_1^2)(x_3 - x_2) + (x_2^2 + y_2^2)(x_1 - x_3) + (x_3^2 + y_3^2)(x_2 - x_1)}{2[(x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2))]} \]
Où :
Trouvons le circoncentre d'un triangle avec les sommets aux points (0, 0), (4, 0) et (2, 3) :
Étape 1 : Nous avons (x₁, y₁) = (0, 0), (x₂, y₂) = (4, 0), (x₃, y₃) = (2, 3)
Étape 2 : \(D = 2[(0(0 - 3) + 4(3 - 0) + 2(0 - 0))] = 24\)
Étape 3 : \(U_x = \frac{(0^2 + 0^2)(0 - 3) + (4^2 + 0^2)(3 - 0) + (2^2 + 3^2)(0 - 0)}{24} = 2\)
Étape 4 : \(U_y = \frac{(0^2 + 0^2)(2 - 4) + (4^2 + 0^2)(0 - 2) + (2^2 + 3^2)(4 - 0)}{24} = 1.5\)
Étape 5 : Le circoncentre est au point (2, 1.5)
Dans cette image, vous pouvez voir notre triangle bleu. Le point rouge est le circoncentre, où les trois lignes pointillées (médiatrices) se rencontrent. Le cercle violet en pointillés est le cercle circonscrit, qui passe par les trois sommets du triangle. N'est-ce pas étonnant de voir comment le circoncentre est exactement au milieu de ce cercle spécial ?
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